Калужские рефераты


шпоргалки по математике, шпоргалки по информатике, шпоргалки по физике, шпоргалки по экономике

Скачать реферат:

Название: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

  1     2  

Магнитогорский государственный технический университет
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск -1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 - 4x - 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция (¦(x) = x3 - 4x - 2 и ¦(x) = 4x - cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (-? ; ?).
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.
Способ хорд
Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции ¦(x1) и ¦(x2) разных знаков. Так как функция ¦(x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2.
Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ¦(x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;¦(x1)) и B(x2; ¦(x2)), в каноническом виде:
;
Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1:
Чтобы получить более точное значение корня, определяем ¦(а1). Если на данном отрезке мы имеем ¦(x1)<0, ¦(x2)>0 и ¦(a1)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если ¦(x1)>0, ¦(x2)<0 и ¦(a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1;a1]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д.
Пример 1. x3 - 4x - 2 = 0
¦(x) = x3 - 4x - 2,
¦?(x) = 3x2 - 4,
производная меняет знак в точках
¦?(x) + - +
¦(x) х

функция ¦(x) монотонно возрастает при x?(-?;] и при х?[;?), и монотонно убывает при x?[;].
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение ¦(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:
¦(-2)= -2,
¦(-1)= 1,
¦(0)= -2,
¦(1)= -5,
¦(2)= -2,
¦(3)= 13.
Таким образом, корни находятся в интервалах
(-2;-1), (-1;0), (2;3).
Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:

  1     2  

Скачан: 0 раз.

Скачать диплом, курсовую, реферат, контрольную

Понравилось? тогда жми кнопку!

Лучшие студенческие анекдоты

Поиск


Реклама